From Buffon's Needle to Buffon's Noodle
On place au hasard un segment de longueur L sur un plan muni de lignes parallèles espacées de W et on note X1 le nombre de lignes franchies; l'objectif est de calculer f(L)=E[X1]. En lançant deux segments de longueurs L1 et L2, la linéarité de l'espérance donne f(L1+L2)=f(L1)+f(L2), d'où f est additive, croissante et nulle en 0, donc f(L)=cL pour une constante c≥0. En soudant ou en pliant le segment en une courbe polygonale puis en passant à la limite, on montre que l'espérance du nombre d'intersections dépend seulement de la longueur de la courbe. Pour déterminer c, on considère le cas particulier d'un cercle de rayon W/2 qui, presque sûrement, coupe exactement une ligne en deux points, donc l'espérance du nombre d'intersections vaut 2. Comme la circonférence de ce cercle est L=πW, on obtient c=2/(πW) et donc pour un segment droit on retrouve la formule classique E[X]=2L/(πW).