Why Mathematica does not simplify sinh(arccosh[x])
L’auteur discute de l’application des fonctions trigonométriques à leurs inverses et explique que son projet initial prévoyait deux articles, l’un sur les trois fonctions de base et l’autre sur leurs contreparties hyperboliques. Mathematica gère ces identités et, parfois, ne simplifie pas comme prévu, les résultats des compositions circulaires allant dans le sens attendu, par exemple Sin[ArcCos[x]] renvoie √(1 − x²), tandis que les versions hyperboliques présentent des déductions inattendues. Pour ArcCosh, il faut définir soigneusement sa signification, car cosh est une fonction paire et ArcCosh(x) est défini comme le réel positif y tel que cosh(y)=x, avec une coupure de branche et une extension analytique complexe. La définition de la racine carrée nécessite aussi une coupure de branchement et une continuation analytique, ce qui explique pourquoi Sinh[ArcCosh[x]] n’est pas simplement √(x² − 1) et pourquoi les expressions de Mathematica peuvent être correctes sur le plan complexe. En imposant des contraintes comme x ≥ −1, on peut demander à Mathematica de simplifier et obtenir √(x² − 1), comme illustré par Simplify[Sinh[ArcCosh[x]], Assumptions -> {x ≥ -1}].