The Other Markov's Inequality
L’inégalité de Markov affirme que, pour un polynôme de degré n qui mappe un intervalle dans lui‑même, le maximum de sa dérivée est au plus n^2 fois le maximum de la valeur du polynôme, et une version générale s’obtient par changement affine de variables. Pour des polynômes simples comme x^d, cette borne est très lâche: la dérivée maximale vaut d, alors que la borne donne d^2. À l’inverse, les polynômes de Chebyshev savent vraiment osciller et peuvent approcher l’ordre n^2 de dérivée, illustrant une saturation quasi complète de l’inégalité. L’outil permet d’obtenir des bornes inférieures sur le degré nécessaire pour approcher une fonction avec une précision donnée: on « piége » la fonction dans une boîte et on déduit, via l’inégalité, que le polynôme doit avoir un certain degré. Cette approche est robuste et s’applique à diverses cibles, comme la rampe et d’autres puissances, fournissant des résultats souvent proches de la réalité tout en complétant les méthodes classiques fondées sur le taux de convergence.